Postulat und Theorem sind zwei gängige Begriffe, die in der Mathematik häufig verwendet werden.
Ein Postulat ist dabei eine Aussage, von der angenommen wird, dass sie wahr ist, ohne dass ein Beweis vorliegt.
Ein Theorem ist eine Aussage, die man als wahr bewiesen kann. Dies ist der Hauptunterschied zwischen Postulat und Theorem. Theoreme beruhen oft auf Postulaten.
Was ist ein Postulat?
Ein Postulat ist eine Aussage, von der angenommen wird, dass sie wahr ist, ohne dass ein Beweis vorliegt.
Das Oxford Dictionary definiert ein Postulat als „etwas, das als Grundlage für eine Argumentation, eine Diskussion oder einen Glauben als wahr angenommen wird“.
Das American Heritage Dictionary als „etwas, das ohne Beweis als selbstverständlich oder allgemein akzeptiert angenommen wird, insbesondere wenn es als Grundlage für ein Argument verwendet wird“.
Postulate werden auch als Axiome bezeichnet. Man muss Postulate nicht bewiesen, da sie offensichtlich richtig sind.
Zum Beispiel ist die Aussage, dass zwei Punkte eine Linie bilden, ein Postulat. Postulate sind die Grundlage, auf der Theoreme und Lemmata entstehen. Man kann ein Theorem aus einem oder mehreren Postulaten ableiten.
Nachfolgend sind einige grundlegende Eigenschaften aufgeführt, die alle Postulate haben:
- Postulate sollten einfach zu verstehen sein, sie sollten nicht viele schwer verständliche Wörter enthalten.
- Sie sollten konsistent sein, wenn man sie mit anderen Postulaten kombiniert.
- Man sollte Postulate unabhängig voneinander verwenden können.
Einige Postulate – wie z. B. Einsteins Postulat, dass das Universum homogen ist – sind jedoch nicht immer korrekt. Ein Postulat kann sich nach einer neuen Entdeckung auch als offensichtlich falsch erweisen.
Was ist ein Theorem?
Ein Theorem ist eine Aussage, die man als wahr beweisen kann.
Das Oxford Dictionary definiert ein Theorem als eine „allgemeine Aussage, die nicht selbstverständlich ist, sondern durch eine Kette von Schlussfolgerungen bewiesen wird. Eine Wahrheit, die durch akzeptierte Wahrheiten bewiesen wird“.
Das Merriam-Webster Wörterbuch definiert das Theorem als „eine Formel, ein Satz oder eine Aussage in der Mathematik oder Logik, die aus anderen Formeln oder Sätzen abgeleitet wird oder abgeleitet werden soll“.
Theoreme können durch logisches Denken oder durch die Verwendung anderer Theoreme, deren Richtigkeit bereits bewiesen wurde, bewiesen werden.
Ein Theorem, das bewiesen werden muss, um ein anderes Theorem zu beweisen, wird als Lemma bezeichnet. Sowohl Lemmata als auch Theoreme beruhen auf Postulaten.
Ein Theorem oder Lehrsatz besteht in der Regel aus zwei Teilen, die als Hypothese und Schlussfolgerung bekannt sind. Der Satz des Pythagoras, der Vier-Farben-Satz und der Große Fermatsche Satz sind einige Beispiele für Theoreme.
Was ist der Unterschied zwischen Postulat und Theorem?
Definition
- Postulat: Ein Postulat ist definiert als „eine als wahr akzeptierte Aussage als Grundlage für ein Argument oder eine Schlussfolgerung“.
- Theorem: Theorem ist definiert als „allgemeine Aussage, die nicht selbstverständlich ist, sondern durch eine Kette von Schlussfolgerungen bewiesen wird. Eine Wahrheit, die durch akzeptierte Wahrheiten bewiesen wird“.
Beweis
- Postulat: Ein Postulat ist eine Aussage, die ohne jeglichen Beweis als wahr angenommen wird.
- Theorem: Ein Theorem ist eine Aussage, die man als wahr beweisen kann.
Relation
- Postulat: Postulate sind die Grundlage für Theoreme und Lemmata.
- Theorem: Theoreme basieren auf Postulaten.
Need to Prove
- Postulat: Postulate müssen nicht bewiesen werden, da sie das Offensichtliche aussagen.
- Theorem: Theoreme können durch logisches Denken oder mit Hilfe anderer Theoreme, deren Richtigkeit bereits bewiesen wurde, bewiesen werden.